复数的几何表示有4种,复平面上点的表示,用辐角进行表示,三角表示式,以及指数表示法。
复数乘幂与方根的计算法则
两个复数乘积的模等于它们模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们辐角的和(跟绕口令似的)
解析一定可导可导一定连续连续一定有极限。
解析函数的定义与导数有关,如果函数fz在z0及z0的邻域内处处可导,那么fz在z0上解析,如果fz在定义域d内每一点都解析,那么称为fz在d内解析,或者说它在d内是解析函数。
如果fz在z0处不解析,那么z0是fz的奇点。
一个函数fz作为解析函数的充要条件是。 Fz在d内解析,且其实部函数与虚部函数在 d内可微,且在 d内满足柯西黎曼方程,即实部函数对x求偏导等于虚部函数对y求偏导,实部函数对外求偏导等于虚部函数对x求偏导的负数。
函数的求导法则依然和实数相同
接下来就是复变数情形下的初等函数,这部分难记啊......
复变数z的指数函数依然满足加法定理,只不过与实数的幂函数相比,e的z次方没有幂的意义。而仅仅作为替代ex xpz的符号被使用
由加法定理可以得知exp z的周期是2kπi
复变数下的对数函数则是指数函数的反函数, Ln (z的n次方)不等于nln z,但是依然满足加法定理减法定理(辐角相加是万能的) ln z在除去原点及负实轴的平面内解析
Ln z的各个分支在出去原点及负实轴的平面内也解析,且有相同的导数值
双曲函数,反三角,反双曲三角函数要记得一大堆我靠。
简单闭曲线上一点p顺着这个方向沿该曲线前进时。临近p点的曲线内部始终位于p点的左边,则该方向为简单闭曲线的正向。
如果函数连续,且c为光滑曲线,那么函数在该曲线上的积分存在,且该函数可以通过两个二元实变函数的线积分来计算,常规思路是分别计算其实部和虚部的积分,然后将二者组合。但最终可以简便为。直接将函数z代入,将z替换成参变量t,积分区域c变成t的定义域。该最终简便的结果的条件是,被积函数是连续的,且曲线c光滑。不过考试大概不会出这个情况以外的积函数。
曲线c的长度为l函数fz在c上满足fz的绝对值小于等于m,那么fz在c上的积分的绝对值小于该函数的模函数在c上的积分,小于等于m×l
复变函数的积分应用了曲线积分的相关定理以及公式:
如果被积函数在定义域解析,且定义域b为单连通域c为b内一封闭曲线,那么被积函数沿c的积分为0如果c是b的边界,那么该定理依然成立,这个定理叫柯西古萨基本定理。
但是反过来不一定成立,在任意曲线c上被积函数的积分等于0,不代表被积函数就是b内的解析函数。
如果被积函数不解析,那么需要使用复合闭路定理与柯西积分公式,即若某函数于多联通区域的外曲线积分等于该区域的内曲线积分之和(二者积分同向,均取正向或均取负向)
柯西积分公式:如果被积函数在区域d内处处解析c为d内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于d。Z0为c内的任意一点,那么被积函数在z0上的值等于被积函数除以(z-z0)的商在c上的闭曲线积分比上2πi。这一公式的高阶形式为。被积函数的n阶导数在z0上的值等于。被积函数除以(z-z0)的n+一次方的商在闭曲线c上的积分。乘以n的阶乘除以2πi( N为>1的整数)
如果二元实变函数f在区域d内具有二阶连续偏导数,并且满足拉普拉斯方程( F对x求2阶偏导加上f对y求2阶偏导等于0)那么称f为区域D内的调和函数。
书上给了一个没有起名字的定理,任何在区域d内解析的函数,它的实部与虚部都是d内的调和函数。